Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones en álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

Suma o adición

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de suma o adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

No es necesario que las matrices sean cuadradas:
$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad + \quad \begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \quad = \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 4 & 6 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{bmatrix}$
A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Multiplicación de matrices

En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas reglas.
Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad

Multiplicación de una matriz por un escalar

.
Dada una matriz A de m filas y n columnas es una matriz del tipo:

$A = \begin{pmatrix} a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix}$ que se escribe genéricamente como $A:=(a_{i j})_{m \times n}.$

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA es:

$kA = \begin{pmatrix} ka_{1 1} & \cdots & ka_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m 1} & \cdots & ka_{m n} \end{pmatrix}$ que se escribe genéricamente como $kA:=(k\cdot a_{i j})_{m \times n}.$

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como sumar o restar la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

$n \times A = \underbrace{A + \dots\ + A}_n$

Multiplicación de una matriz por otra matriz

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

$A:=(a_{ij})_{m \times n}$ y $B:=(b_{ij})_{n \times p}$

la multiplicación de A por B, que se denota $A \cdot B, \; A \times B, \; A \circ B$ o simplemente AB, el resultado del producto es una nueva matriz C:

$C=AB:=(c_{ij})_{m \times p}$

donde cada elemento c_i,j está definido por:

$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj}$

es decir:

$C = AB_{}^{} =$ $\begin{pmatrix} a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} b_{1 1} & \cdots & b_{1 p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n 1} & \cdots & b_{n p} \end{pmatrix} =$

$\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+ \cdots +a_{1n}b_{n1} & \cdots & a_{11}b_{1p}+ \cdots +a_{1n}b_{np} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}b_{11}+ \cdots +a_{mn}b_{n1} & \cdots & a_{m1}b_{1p}+ \cdots +a_{mn}b_{np} \end{pmatrix}$

Aplicaciones

La multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dado que son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran parte de estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utiliza mucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuaciones

Consideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Las aplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x₁,x₂) hacen corresponder el punto N(y₁,y₂) se expresan como un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, por ejemplo, el sistema:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

se escribe de forma matricial así:

$\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}$

Como se ve, en la notación matricial, las variables sólo aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+" ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.
Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba, pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: la composición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e y_1 + f y_2\\ z_2 = g y_1 + h y_2 \end{matrix} \right. \mbox{ con } \left \{ \begin{matrix} y_1 = a x_1 + b x_2\\ y_2 = c x_1 + d x_2 \end{matrix} \right.$

obtenemos:

$\left \{ \begin{matrix} z_1 = e(a x_1 + b x_2) + f(c x_1 + d x_2) = (ea + fc)x_1 + (eb + fd)x_2\\ z_2 = g(a x_1 + b x_2) + h(c x_1 + d x_2) = (ga + hc)x_1 + (gb + hd)x_2 \end{matrix} \right.$

lo que corresponde a la matriz:

$\begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

$\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea + fc & eb + fd\\ ga + hc & gb + hd \end{pmatrix}$

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